B. Krumm, Projektzeitraum: 1992 –
Für zweidimensionale Kontingenztafeln existiert eine Vielzahl von exakten Tests in leicht zugänglicher Form – sowohl in den gängigen Auswertungssystemen (z. B. SAS und SPSS) als auch in verbreiteter Spezialsoftware (z. B. StatXact). Ganz anders ist die Lage bei der Analyse von mehrdimensionalen Kontingenztafeln. Für die Analyse der statistischen Modelle, die hier angewendet werden, stehen fast ausschließlich asymptotische Methoden zur Verfügung. Log-lineare Modelle sind ein vielseitiges Instrument zur Prüfung von Zusammenhangshypothesen in mehrdimensionalen Kontingenztafeln; auch hier wird fast ausschließlich mit asymptotischen Tests gearbeitet. Ziel des Projekts ist es, für die im Rahmen log-linearer Modelle auftretenden Hypothesen exakte Tests zu entwickeln.
Der bei asymptotischen Tests auftretende Approximationsfehler ist nur dann hinreichend klein, wenn die unter der Nullhypothese erwarteten Zellbesetzungen bestimmte Anforderungen erfüllen. Kern der Algorithmen, die den exakten Tests zugrunde liegen, ist die Bestimmung aller Kontingenztafeln, die dieselben Randsummen aufweisen wie die beobachtete Tafel (isomarginale Tafeln). Eine isomarginale Tafel ist also eine positive ganzzahlige Lösung eines linearen Gleichungssystems, dessen Koeffizienten die Werte Null oder Eins haben. Die Bestimmung der positiven ganzzahligen Lösungen eines ganzzahligen linearen Gleichungssystems ist analytisch schwierig; die praktische Durchführung erfordert umfangreiche Spezialprogramme.
Es steht ein früher entwickeltes, von den Ausführungszeiten der Programme her relativ schnelles Verfahren zur Verfügung, das alle ganzzahligen Lösungen des Gleichungssystems bestimmt. Der Nachteil dieses unaufwendigen Verfahrens besteht in der oft großen Anzahl negativer Lösungen. Durch Einbeziehung von Unzulässigkeitskriterien kann die Anzahl der negativen Lösungen deutlich vermindert werden. Es wurden mehrere Unzulässigkeitskriterien verschiedenen Komplexitätsgrades entwickelt und erprobt. Alle Unzulässigkeitskriterien vermindern die Anzahl der negativen Lösungen deutlich, zwischen einfachen und komplexen Kriterien bestehen Unterschiede, jedoch sind sie nicht bedeutend. Aufgrund dieser Ergebnisse läßt sich schließen, daß das rechnerisch unaufwendige Verfahren mit integriertem Unzulässigkeitskriterium eine sinnvolle Möglichkeit zur Bestimmung der isomarginalen Tafeln darstellt und ist somit eine praktikable Möglichkeit, innerhalb log-linearer Modelle Hypothesen exakt zu prüfen.
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